Задачі

Розв'язування задач на трикутник

Задача 1. Для залізних дахів кут між кроквами беруть рівним 1200. Визначте довжину крокви, якщо відстань від стелі до найвищої частини (гребеня) її дорівнює 2,5м.

Розв’язання

L = 1200, LN – висота, LN = 2,5 м. Знайдемо KL.

∆КLM – рівнобедрений, тому кут К =М = (1800 – 1200):2 = 300.

У ∆КNL катет LN = 2,5м проти кута К = 300дорівнює половині гіпотенузи. Отже, KL = 2 LN = 2 · 2,5 = 5 (м).

Відповідь: кроква має довжину 5м.

Задача 2. Чи вистачить 7 м сітки-рабиці, щоб огородити квітничок, що має форму рівнобедреного трикутника зі сторонами 2 м і 3 м.

Розв’язання

I випадок:

Якщо основа трикутника 2 м, а його бічна сторона 3 м, то знадобиться 2 + 3 * 2 = 8 (м) сітки.

II випадок:

Якщо основа трикутника 3 м, а його бічна сторона 2 м, то знадобиться 3+2*2=7 (м) сітки.

Відповідь: вистачить, якщо основа трикутника 3 м, бічна сторона 2 м.

Задача 3. Периметр рівнобедреного трикутника 20 см. Знайти його сторони, якщо бічна сторона відноситься до основи, як 3:4.

Розв’язання

Нехай x – коефіцієнт пропорційності. Тоді довжина бічної сторони 3x см, а основи 4x см. Периметр трикутника 20 см. Маємо рівняння.

3x + 3x + 4x = 20;

10x = 20;

x = 20 : 10;

x = 2.

Отже, довжина бічної сторони 6 см, а основи 8 см.

Відповідь: 6 см, 6 см, 8 см.

Задача 4. Знайти кути при основі рівнобедреного трикутника ABC, якщо ∠DAB = 108°.

Розв’язання

∠DAB і ∠BAC – суміжні, тому ∠BAC = 180° - ∠DAB = 180° - 108° = 72°. За властивістю рівнобедреного трикутника:     

∠BCA = ∠BAC = 72°.

Відповідь: 72°, 72°.

Задача 5. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них на 15° більший за другий. Скільки випадків слід розглянути?

Розв’язання:

Випадок 1: Нехай ∠А = ∠С = х,

∠В = х + 15°. Сума кутів трикутника = 180°

Складаємо рівняння:

х + х + х + 15° = 180°

3х = 165°

х = 165° : 3

х = 55°

∠А =∠С = 55°, ∠В = 55° + 15° = 70°

Випадок 2: Нехай ∠В = х, ∠А =∠С = х + 15°

Сума кутів трикутника = 180°

Складаємо рівняння:

х + х + 15° + х + 15° = 180°

3х + 30° = 180°

3х = 150°

х = 150° : 3

х = 50°

∠В = 50°, ∠А =∠С = 50° + 15° = 65°

Відповідь: 1) 70°, 55°, 55°; 1)  50°, 65°, 65°.

Задача 6. Знайти кути рівнобедреного трикутника, якщо один із них на 30° більший від іншого.

Розв'язання

Випадок 1: Нехай х – кут при вершині, тоді кут при основі х + 30° .

Складемо рівняння:

х + х + 30° + х + 30° = 180°

3х = 120°

х = 40°

Випадок 2: Нехай х – кут при основі, тоді кут при вершині х + 30°

Складемо рівняння:

х + х + х + 30° = 180°

3х = 150°

х = 50°

Відповідь: 1)40°, 70°, 70°; 2) 50°, 50°, 80°.

Задача 7. У трикутнику два кути дорівнюють 46° і 64°. Знайдіть кут між прямими, яким належать бісектриси цих кутів.

Розв’язання:

Маємо ∆ABC, ∠A = 46°, ∠B = 64°, AN і CK – бісектриси. Нам потрібно знайти ∠NOC.

Розглянемо ∆АОС. Оскільки КN – бісектриса, то∠АОС=46°:2=23°

КС – бісектриса, отже ∠ОСА = 64° : 2 = 32°.

Сума кутів трикутника = 180°. 

Отже ∠АОС = 180° - (23° + 32°) = 180° - 55° = 125°.

Кутом між прямими, що перетинаються є менший з утворених кутів. 

Отже це буде ∠NOC. За теоремою про суміжні кути: 

∠NOC = 180° - ∠АОС = 180° - 125 °= 55°.

Відповідь: 55°.

Задача 8. Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює. Знайти внутрішні кути, якщо вони відносяться, як 3:5.

Нехай ∠ВСК – зовнішній кут Δ АВС.

∠ВСК = 1200, < А : < В = 3 : 5 – за умовою, то ∠А = 3х, ∠В = 5х

∠А + ∠В = ∠ВСК = 120° – за теоремою 9,

3х + 5х = 120°

8х = 120°

х = 15°

∠А = 3х = 45°, ∠В = 75°.

Відповідь: 45°, 75°.