Кути

Кути трикутника

Теорема 

Сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Доведемо цю теорему

Розглянемо довільний трикутник KLM і доведемо, що

∠K + ∠L + ∠M = 180°

1. Проведемо через вершину L пряму a, паралельну стороні KM.
2. Кути, позначені цифрою 1, є внутрішніми різносторонніми кутами при перетині паралельних прямих a і KM січною KL.
3. Кути, позначені цифрою 2, — внутрішніми різносторонніми кутами при перетині тих самих паралельних прямих січною ML.
4. Очевидно, що сума кутів 1, 2 і 3 дорівнює розгорнутому куту з вершиною L, тобто:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

або 

∠𝐾 + ∠𝐿 + ∠𝑀 = 180°

Теорему доведено.

Давайте поміркуємо і спобуємо дати відповіді на такі питиння: "Чи може трикутник мати два прямих кути? Чи може трикутник мати два тупих кути?".

Розглянувши картинки вище ми можемо зробити висновок:

Трикутник не може мати двох прямих або тупих кутів.

У кожному трикутнику принаймні два кути гострі.

Зовнішній кут

Зовнішній кут трикутника - це кут, суміжний з внутрішнім. 

Внутрішніх кутів в трикутнику три, і їх сума дорівнює 180 градусам. Суміжними кутами звуться кути, одна зі сторін яких лежить на одній прямій, а друга є спільною.

Що потрібно зробити, щоб побачити зовнішній кут трикутника? Для цього доведеться виконати деякі додаткові побудови. Щоб побачити зовнішній кут трикутника необхідно продовжити його сторону. При кожній вершині дві сторони, відповідно продовжити можна дві прямих і суміжних кутів буде два.

Разом в трикутнику виходить 6 зовнішніх кутів.

Небажано на малюнку будувати два зовнішніх кута при одній вершині одночасно. Це ускладнить побудова і, найчастіше, не принесе ніякого позитивного результату.

Властивості зовнішніх кутів

Властивостей у зовнішніх кутів трикутника не так багато і всі вони пов’язані з визначенням зовнішнього кута.

Основна властивість свідчить, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів не суміжних з нею. 

Властивість доводиться досить просто. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °. Сума кутів в трикутнику всі ті ж 180 °. Тоді, якщо позначити внутрішні кути 1, 2, 3, зовнішній кут 4, то:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

∠3 + ∠4 = 180°

Віднімемо від першого виразу друге і отримаємо:

∠1 + ∠2 + ∠3 - (∠3 + ∠4) = 180° - 180 °

∠1 + ∠2 - ∠4 = 0

∠4 = ∠1 + ∠2 – ось і весь доказ.

Є ще кілька додаткових властивостей зовнішніх кутів:

1. Якщо рішення задачі вимагає одночасного існування двох зовнішніх кутів при одній вершині на кресленні, то можна помітити, що ці зовнішні кути будуть рівні, як вертикальні.
2. Сума трьох зовнішніх кутів, по одному при кожній з вершин, дорівнює 360°.
3. Так як зовнішній і внутрішній кути трикутника суміжні, то їх сума дорівнює 180°.